Устойчивость движения линейных многомерных объектов.Первый и второй методы Ляпунова

УФИМСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 

Кафедра Информатики 
 
 
 
 
 

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 2

УСТОЙЧИВОСТЬ  ДВИЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ. ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ МЕТОДЫ ЛЯПУНОВА 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уфа 2010

Цель  работы:  целью лабораторной работы является закрепление и углубление навыков исследования устойчивости систем по видухарактеристического полинома объекта управления.

1. Задание: по заданным, в соответствии с индивудуальными заданями, матрицам A, b, c составить систему дифференциальных уравнений вида;
2. составить структурную схему данного объекта;
3. определить характеристический полином заданной системы, по коэффициентам характеристического полинома сделать вывод об устойчивости/не устойчивости системы;
4. вычислить корни характеристического полинома, и по их виду определить устойчивость/не устойчивость системы и вид переходного процесса системы;
5. построить имитационную модель системы и вывести на экран графики переходного процесса;
6. в зависимости от результата исследования преобразовать матрицу A таким образом, чтобы система стала неустойчивой /устойчивой;
7. найти коэффициенты матрицы A при которых система будет находиться на границе устойчивости;
8. по результатам исследования подготовить отчет о проделанной работе.

 

Пусть дана одномерная система представленная в форме координат пространства состояний (2.1), определяемая матрицами:

Система линейных дифференциальных уравнений  с данными значениями матриц:

     Вычислим  характеристический полином по формуле 

        

Присутствует  отрицательный коэффициент в  характеристическом полиноме, значит система не устойчива. При решении  характеристического уравнения выясняется, что нет действительных корней.

p 1   =   4.5 + i × 3.1225

p 2   =  4.5 - i × 3.1225 

Для проверки построим модель в SciLab 

        

        

Из графика  переходного процесса видно, что  система  неустойчива, что подтверждает вывод о неустойчивости, сделанный на основании вида коэффициентов характеристического полинома. 

Рассмотрим другую матрицу A:

      

Характеристический  полином данной системы:

Коэффициенты  характеристического полинома положительны, значит, система может быть как устойчивой, так и не устойчивой.

Для оценки устойчивости системы найдем корни полученного  характеристического полинома:

  p1= - 1.3906117 + 1.5273634i

 p2= - 1.3906117 - 1.5273634i

 p3= - 4.2187766 

Поскольку все  вещественные составляющие корней характеристического полинома отрицательны, данная система является устойчивой. Кроме того, наличие комплексных сопряженных корней говорит о колебательном виде переходной функции.

Для проверки полученных теоретических данных построим модель системы, выведем на экран график переходного процесса системы:

Таким образом, наглядно показана зависимость вида переходного процесса от значения корней характеристического полинома. 

Рассмотрим другую матрицу А:

Характеристический полином данной системы:

Коэффициенты  характеристического полинома положительны, значит, система может быть как  устойчивой, так и не устойчивой.

Для оценки устойчивости системы найдем корни полученного  характеристического полинома:

 p1= 0

  p2=- 1.5857864

  p3=- 4.4142136

Система находится  на границе устойчивости, так как  есть нулевой корень.

График переходного  процесса системы выглядит следующим образом:

Контрольные ответы:

1. Дайте определение устойчивой системы.

Система будет называться устойчивой, если с течением времени при функция будет стремиться к нулю: .

     Первая  теорема Ляпунова: если характеристическое уравнение системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то система будет устойчива.

     Корни характеристического уравнения  можно представить в виде точек  на комплексной плоскости величины p.

     

     Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.

     Система будет находиться на границе устойчивости при наличии: нулевого корня или  пары чисто мнимых корней, или бесконечного корня. 

2.  Что называется характеристическим полиномом системы.

где I –  единичная матрица размерности  .

     Для линейных систем характеристический полином  может быть записан в виде:

      

 

где - оператор дифференцирования.

      Характеристическое  уравнение системы – знаменатель  передаточной функции, в частотной области:

            .

3. Как определяется устойчивость системы регулирования? 

     Требуется определить устойчивость данной системы по виду ее характеристического полинома:

      

где I –  единичная матрица размерности  .

     Для линейных систем характеристический полином  может быть записан в виде:

      

где - оператор дифференцирования

     Так как в решении характеристического  уравнения содержится n корней, то переходная составляющая может быть записана в  виде:

      

Устойчивость  системы можно определить 3мя способами:

     1)найти  корни характеристического полинома. По первой теореме Ляпунова: если  характеристическое уравнение системы  имеет все корни с отрицательными  вещественными частями, то система  будет устойчива.

2) по  коэффициентам характеристического  полинома: если хоть один отрицателен – система неустойчива.

3) по  графику переходного процесса  системы. 

4,5 Как влияет на вид переходного процесса значение вещественной составляющей корня характеристического полинома? Как влияет на вид переходного процесса комплексная составляющая корня характеристического полинома? 
 

     Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корня, например и , будут иметь вид . В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении, могут быть представлены в виде:

      

,

где A и  - новые постоянные интегрирования.

     Нетрудно  видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причем мнимая часть корня представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а - показатель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходного процесса

 

     При положительной вещественной части колебания будут не затухающими, а расходящимися. В этом случае . Слагаемое, определяемое этими корнями в (2.4), будет представлять собой незатухающие колебания, т.е. колебания с постоянной амплитудой:

       .

Такой процесс изображен на рис. 2.4.

     

 
 

     Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части  корней были отрицательными. Это относится  как к вещественным, так и к  комплексным корням.