Задачи на окружность

 
 
 
 

Задачи на окружность

 
 
 
 

Дано: Из точки  А, лежащей на окружности, проведены  две хорды, равные 7 и 15. Найдите диаметр  окружности, если расстояние между  серединами хорд равно 10.   
 

    Решение: Сделаем необходимые обозначение  и соединим некоторые точки  так, как показано на рисунке. В треугольнике АВС КМ является  средней линией : 
ВС=2КМ=20 (по опред. ср. линии)  
Теперь мы знаем все три стороны треугольника и можем определить площадь по формуле Герона: 
p=21 
p-a=14 
p-b=6 
p-c=1 
S=42 
Теперь по формуле радиуса описанной окружности определим радиус R: 
R=abc/4S

    R=12,5 
 
d=2R=25

          Ответ: 25.

 
 
 
 

Дано: треугольник  АВС со сторонами ВС=17, АС=21, АВ=10. Найдите радиус окружности, проходящей  через вершины А и В, центр  которой находится на высоте BD.   
 

    1. Определим  площадь треугольника по формуле  Герона: 
p=24; р-а=7; p-b=3; р-с=14 
S=84 
 
2. Теперь, используя формулу S=1/2ah площади треугольника определим высоту BD: 
BD=2S/AC=8 
 
3. Из прямоугольного треугольника АВD по теореме Пифагора определим катет AD: 
AD² =AB²-BD²  
AD2=100-64=36 
AD=6 
 
4. Соединим точки О и А. Обозначим радиус окружности за R (АО=ВО=R). Значит, OD=BD-OB=8-R.

    Запишем  для прямоугольного треугольника  АОD теорему Пифагора: 
АО²=AD²+OD²

     R²=62+(8-R)²

R²=36+64-16R+R²

16R=100 
R=25/4

          Ответ: R=25/4

 
 
 
 

Дано: Хорды  окружности АD и BC пересекаются пересекаются. Угол АВС равен 50 градусов, угол  АСD равен 80 градусов. Найдите угол  САD.  

    Вспомним  теорему: вписанные углы, опирающиеся  на равные дуги, равны. Видим, что  углы АВС и ADC опираются на одну  дугу АС, и поэтому равны. 
АВС=  ADC=50° 
Теорема: сумма углов треугольника равна 180 градусов. Запишем её для треугольника АСD: 
АСD+  АDС+  СAD=180°, откуда 
СAD=180°-  АСD-  АDС 
СAD=180°-80°-50° 

Ответ:   СAD=50°

 
 
 
 

Даны две  внутрекасающиеся окружности (т.е. одна  находится внутри другой, при  этом они имеют одну общую  точку). Требуется доказать, что точка  касания и центры окружностей  лежат на одной прямой.  

    Через  точку А касания окружностей  проведем касательную к большей  окружности. Эта прямая является  также касательной и для меньшей  окружности, т.к. имеет с ней только  одну точку. Теперь из центров  окружностей О и В проведем  радиусы в точку касания. Как  известно, радиус, проведенный в  точку касания, перпендикулярен  касательной. Мы имеем на плоскости  из одной точки А восстановлено  два перпендикуляра АО и АВ, чего быть не может, поэтому  прямые АО и АВ совпадают  и точки О В и А лежат  на одной прямой.

 
 
 
 

Дано: Основание  АВ равнобедренного треугольника  АВС равно 18см ,а боковая сторона  ВС=15см. Найдите радиус вписанной  и описанной около треугольника  окружности.  

    Решение:

Проведем высоту  СН. По свойству равнобедренного  треугольника эта высота будет  также и медианой, поэтому АН=НВ=9.

Из прямоугольного  треугольника АСН найдем СН  по теореме Пифагора: СН2=АС2-АН2=225-81=144 
СН=12

Вычислим площадь  треугольника: 
S=1/2ah=1/2*18*12=108 
Теперь, применив формулы для вписаной и описанной окружностей, найдем искомые радиусы: 

 
 
 
 

Ответ: r=9/2 и  R=75/8