Кривые 2-го порядка как траектория движения планет

Дата добавления: 13 Мая 2013 в 18:02
Автор: i*********@mail.ru
Тип работы: курсовая работа
Скачать полностью (35.13 Кб)
Работа содержит 1 файл
Скачать  Открыть 

Курсовая.doc

  —  95.50 Кб

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра: «Алгебры и математической логики»

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине: «Аналитическая геометрия»

на тему: «Кривые 2-го порядка как траектория движения планет»

 

 

 

 

Выполнил: студент  группы 25М121

Ломин И.В.

Проверил: к.ф.-м.н. доцент

Шармин В.Г.

 

 

Тюмень, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение…………………………………………………………………………Стр.3ГЛАВА 1. Законы Кеплера.

1.1 Первый закон Кеплера…………………………………………………...…Стр.4

1.2 Второй закон Кеплера………………………………………………………Стр.4

1.3 Третий закон Кеплера…………………………………………………….Стр.4-5

ГЛАВА 2. Уравнения Кеплера.

2.1 Общая информация…………………………………………………………Стр.6

2.2 Задача, приводящая  к уравнению Кеплера………………………………..Стр.7

2.3 Вывод уравнения  Кеплера(траектория движения планет)……………….Стр.8

Заключение……………………………………………………………………...Стр.9

Список литературы……………………………………………………………Стр.10 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Данная работа включает в себя содержание законов Иоганна Кеплера о небесных телах, информацию об уравнении движения по эллиптической орбите и его вывод. Выбранная мною тема занимает одно из важнейших мест в астрономии, физике. 

Цель работы: проанализировать законы Кеплера и, используя их, вывести уравнение траектории движения планет.

Объект изучения: законы И.Кеплера о движении небесных тел .

В ходе выполнения работы были изучены и раскрыты не изучаемые  ранее определения и термины  из области астрономии, такие, как эксцентриситет, перицентр, апоцентр, эксцентрическая аномалия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. Законы Кеплера.

Первый  закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением  , где   — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния),   — большая полуось. Величина   называется эксцентриситетомэллипса. При  , и, следовательно,   эллипс превращается в окружность.

 

Второй  закон Кеплера.

Каждая планета  движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительное к нашей Солнечной  системе, с этим законом связаны  два понятия: перигелий(перицентр) — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий(апоцентр) — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

 

Третий закон  Кеплера.

 Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

, где   и   — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а   и   — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:  , где   — масса Солнца, а   и   — массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

____________________________________________________________________- 1 - Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается “ ” или “ ”.

ГЛАВА 2.Уравнение Кеплера.

2.1. Общая  информация.

Уравне́ние  Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

где   — эксцентрическая аномалия1,   — эксцентриситет орбиты, а   — средняя аномалия.

Впервые это уравнение  было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.

Уравнение Кеплера в классической форме описывает только движение только по эллиптическим орбитам, то есть при 0 ≤ ε < 1. Движение по гиперболическим орбитам (ε > 1) подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии (ε = 1) описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите (ε = 1) используют уравнение Баркера. При ε < 0 орбит не существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

___________________________________________________________________

1 - Эксцентрическая аномалия - параметр используемый для выражения переменной длины радиус-вектора r. Уравнение связывающее эти величины имеет вид:

             , где

a — большая полуось,

e — эксцентриситет эллиптической орбиты.

 

2.2. Задача, приводящая к уравнению Кеплера.

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из второго закона Кеплера следует, что

.

Здесь r — расстояние от до тела от гравитирующего центра, υ  — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, μ = GM— произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, a — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

.

Здесь t— время прохождение через перицентр.

Дальнейшее решение  задачи зависит от типа орбиты, по которой  движется тело.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Вывод уравнения движения по эллиптической орбите (траектория движения планет).

Уравнение эллипса  в полярных координатах имеет вид

Тогда уравнение для  времени приобретает вид

Для того, чтобы  взять интеграл вводят следующую  подстановку:

Величина E называется эксцентрической аномалией. Получается следующее уравнение:

Величина   является средней скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина характеризует среднее смещение тела по орбите за период.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Несмотря на имеющиеся у человечества знания и информацию о небесных телах, объем  этих сведений очень мал по сравнению  с тем потенциалом возможных  открытий и явлений, которые несет  в себе Вселенная. В связи с  этим изучение небесных тел по-прежнему является  одной из самых сложных, интересных и актуальных тем для наблюдений и дискуссий не только в астрономии, но и во всеобщем понятии «наука». Сформулировав 3 закона о движении небесных тел, И. Кеплер дал определенный толчок для развития, подготовил почву для дальнейших исследований учеными нашей Солнечной системы. Возможно, уже в обозримом будущем мы смоем говорить о новых находках и открытиях, способных встать в один ряд с достижениями Кеплера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы.

  1. Д.Е. Охоцимский, Ю.Г. Сихарулидзе. «Основы механики космического полета. Москва», "Наука", 1990 г.
  2. В. Е. Жаров. «Сферическая астрономия». Век-2, 2006 г. ISBN 5-85099-168-9
  3. Г.М. Фихтенгольц. «Курс дифференциального и интегрального исчисления». Том 3.
  4. Балк М. Б., Демин В.Г., Куницын А.Л. «Сборник задач по небесной механике и космодинамике». — М.: Наука, 1972 г.

Описание работы
Цель работы: проанализировать законы Кеплера и, используя их, вывести уравнение траектории движения планет.
Объект изучения: законы И.Кеплера о движении небесных тел
Содержание
Введение…………………………………………………………………………Стр.3ГЛАВА 1. Законы Кеплера.
1.1 Первый закон Кеплера…………………………………………………...…Стр.4
1.2 Второй закон Кеплера………………………………………………………Стр.4
1.3 Третий закон Кеплера…………………………………………………….Стр.4-5
ГЛАВА 2. Уравнения Кеплера.
2.1 Общая информация…………………………………………………………Стр.6
2.2 Задача, приводящая к уравнению Кеплера………………………………..Стр.7
2.3 Вывод уравнения Кеплера(траектория движения планет)……………….Стр.8
Заключение……………………………………………………………………...Стр.9
Список литературы……………………………………………………………Стр.10