Геометрия зрения, иллюзии. Морис Эшер

 

4. Геометрия зрения

 

     С точки зрения геометрии линейная перспектива - это способ изображения фигур, основанный на применении центрального проектирования. Рассмотрим задачу построения перспективного изображения фигуры, которое называется центральной проекцией (от лат. projectio-бросание вперед).

     Пусть выбрана плоскость проекций π, на которой строится изображение, и задан центр проекции - точка О, ей не принадлежащая. Тогда произвольная точка М фигуры будет проецироваться в точку М' пересечения прямой ОМ с плоскостью π. Ясно, что при разных положениях π получатся различные изображения одной и той же фигуры.

     В живописи плоскость проекций (полотно  картины) обычно находится между  центром проекции (глазом художника) и объектом, так что точка М' оказывается между точками О  и М. При этом плоскость π перпендикулярна  предметной плоскости α, на которой располагаются изображаемые объекты.

     Итак, каждому художнику, пишущему в реалистической манере, приходится решать геометрическую задачу на построение центральной проекции объектов на картинную плоскость. Очевидно, что точки основания картины (лежащие на линии пересечения плоскостей α и π ) проецируются в себя. 

       

     На  рисунке показано, как получается изображение произвольной точки М плоскости α (цифры 1—4 указывают порядок проведения прямых).

     Если  точка К не лежит в предметной плоскости, то сначала из нее опускают перпендикуляр на α (на рис. это отрезок КМ), затем для его основания (точки М) выполняют построения 1—3. Наконец, проводят прямую КО, пересечение которой с плоскостью π и есть изображение точки К.

     Вообще  построение центральной проекции фигуры - задача не из простых. Она рассматривается в одном из разделов прикладной математики - начертательной геометрии изучающей пространственные фигуры при помощи построения их изображений на плоскостях проекций. Начертательная геометрия широко применяется в инженерном деле, строительной практике, в архитектуре и живописи.

     Рассмотрим  несколько примеров зрительных иллюзий, связанных с геометрическими  фигурами.

     1) Мы часто видим сходящиеся вдали параллельные линии (полотно железной дороги, шоссе и т. п.). Это явление называется перспективой.

     Рассмотрим  две «убегающие» от нас параллельные линии (трамвайные или железнодорожные). Они кажутся сходящимися в  некоторой точке горизонта. При  этом сама точка представляется нам  бесконечно удаленной и недосягаемой. Зрение словно пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии параллельные прямые пересекаются. 

        

     Эта иллюзия объясняется тем, что  объект (шпала), находящийся на различных  расстояниях от наблюдателя, виден  под разными углами зрения и по мере удаления вдоль параллельных прямых (рельсов) его угловой размер уменьшается, что приводит к видимому уменьшению расстояния между линиями (в данном случае оно определяется величиной шпалы). Очевидно, когда угол зрения достигает некоторой "критической" величины, глаз перестает различать удаляющийся объект как тело, имеющее размеры, и прямые «сливаются» для него в одну точку.

     Существует  предельное значение угла зрения - наименьшее значение, при котором глаз способен видеть раздельно две точки.

     2) Сравним относительные размеры нескольких находящихся в поле зрения предметов.  

       

     Если  предметы удалены от глаз на одно и  то же расстояние и расположены достаточно близко друг к другу, их сравнить легко. В этом случае мы редко ошибаемся  в своей оценке: более высокий  предмет виден под большим углом, поэтому и кажется выше.

     Усложним  задачу. Расположим предметы на разном расстоянии от глаза, в том числе предметы разного размера. Тогда их видимые размеры кажутся одинаковыми. 

       

     Выстроим, друг за другом по росту несколько  матрешек, и посмотрим на них со стороны самой маленькой фигурки, а затем начнём медленно отходить назад, не изменяя при этом направления взгляда, то можно наблюдать, как матрешки будут постепенно «сливаться», загораживая друг друга. Наконец, на некотором расстоянии будет видна только одна из них - та, что расположена ближе остальных. Сместим фигурки в горизонтальных плоскостях, перпендикулярных направлению взгляда, таким образом, чтобы все они были полностью видны - матрешки кажутся одного размера.

     Аналогичный опыт можно провести с любыми имеющимися под рукой предметами, расположив их на некотором расстоянии друг от друга, причем наибольшего визуального эффекта можно достичь, если использовать предметы, схожие по форме. В таком случае достаточно сравнить их линейные размеры: высоты, диаметры и т.д. Результат будет таким же.

     Еще один наглядный пример, подтверждающий отмеченную закономерность, дает солнечное  затмение, во время которого Луна полностью  закрывает собой солнечный диск. В этот момент размеры обоих тел  кажутся нам одинаковыми, поскольку Луна и Солнце видны с Земли под одним углом зрения.

     На  основе последнего равенства можно  не только сравнить расстояния, а также  относительные размеры двух объектов, наблюдаемых под одним углом  зрения, но и найти любую из входящих в него величин по трем остальным. Независимо от формы предметов, наблюдаемое явление должно описываться «на языке математики» одним и тем же законом, в котором ключевую роль играют, такие параметры, как линейный размер и расстояние до предмета.

     3) Определим высоту столба (вышки, дерева и т.п.).

     

       

     Отойдем от столба на расстояние, на котором  больший палец вытянутой вперед руки закроет его полностью, (то есть их видимые размеры станут одинаковыми), подсчитав при этом число сделанных  шагов. Для взрослого человека среднее расстояние от глаза до большого пальца вытянутой руки составляет 60 см, длина самого пальца - 7 см, а длина шага - 65 см. По этим данным легко вычислить примерную высоту столба. Аналогично определяется расстояние до недоступного объекта по его известной высоте. Отметим, что описанный способ надежен для оценки сравнительно близких расстояний до нескольких сотен метров; чем меньше предмет и чем дальше он находится, тем выше погрешность измерений.

       С позиции геометрии, во всех  приведенных примерах мы имеем дело с подобными фигурами или соответствующими отрезками, а именно высотами, различных по форме фигур; более того, в каждом случае мы сталкиваемся с преобразованием гомотетии, центр которой совпадает с глазом наблюдателя. Поэтому можно утверждать, что если два предмета видны под одним углом зрения, то их линейные размеры отличаются во столько же раз, во сколько раз отличаются расстояния до предметов: 

     

 

5. Оптические иллюзии

 

     Оптической  иллюзией называется несоответствующее  действительности представление видимого явления или предмета вследствие особенностей строения нашего зрительного аппарата. Попросту говоря - это неверное представление реальности.

     Почему  возникают оптические иллюзии? Зрительный аппарат человека - сложно устроенная система со вполне определенным пределом функциональных возможностей. В нее входят: глаза, нервные клетки, по которым сигнал передается от глаза к мозгу, и часть мозга, отвечающая за зрительное восприятие.

     В связи с этим выделяются три основные причины иллюзии:

• наши глаза так воспринимают идущий от предмета свет, что в мозг приходит ошибочная информация;
• при нарушении передачи информационных сигналов по нервам происходят сбои, что опять же приводит к ошибочному восприятию;
• мозг не всегда правильно реагирует на сигналы, приходящие от глаз.

     По  происхождению оптические иллюзии  делятся на три вида:

• естественные, или созданные природой (например, мираж);
• искусственные, или придуманные человеком (например, фокус “левитация” или, как говорят в народе, “летающая дама”;
• смешанные, то есть естественные иллюзии, воссозданные человеком (например, известные иллюзионные картинки, модель миража).

     Виды иллюзий:

• двойственные;
• зрительное искажение;
• иллюзии цвета и контраста;
• восприятие размера;
• кажущиеся фигуры;
• невозможные фигуры;
• перевёрнутые картины;
• распознавание образа;
• соотношение фигур и фона.

 

6. Ма́уриц Корне́лис  Э́схер

 

     Творчество  его нетривиально, фантастично.

6.1 Биографические сведения

 

     Морис Корнелиус Эшер родился 17 июня 1898 года в Леевардене, административном центре голландской провинции Фрисландия. В доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей.

       В школе учился неважно. Оценки  по всем предметам у Мориса  были плохими за исключением  рисования. Учитель рисования  художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное влияние (Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой вплоть до 1944 года, когда Мескита, еврей по происхождению, был вместе с семьёй уничтожен нацистами), заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву. Голландский мальчик - Мориц Корнелис Эшер с детства был немного странным. Бесцветный, замкнутый и заикающийся, он плохо учился и был подвержен двум маниям. Первую можно назвать "тягой к падению" - все вертикальные, устремляющиеся ввысь формы, имели для парня пугающую и одновременно восхитительную притягательность. Вторую манию можно назвать построением "безупречного бутерброда". В 1913 году Эшер в школе религии знакомится с парнем, по имени Бас Кист, который станет его лучшим другом. Оба интересовались технологией печати. В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме - портрет своего отца Г. А. Эшера. С 19 лет Эшер посещает мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок. На этом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера. Его отец, инженер-гидравлик, хотел, чтобы сын получил солидную профессию, и в 1919 году Эшер поступает в Гаарлемское училище архитектуры и декоративного искусства. В 1922 году, проучившись в училище два года, Эшер переезжает в Италию, где проживет 13 лет.

     Каждое  лето он путешествует по Южной Италии или Испании. Летние впечатления  служат материалом для гравюр, над  которыми он работает зимой. С 1941 года Эшер постоянно живет в Голландии. Всемирная известность пришла к нему в 1951 году после публикаций сразу в трех популярных журналах: «The Studio», «Time» и «Life». В 1954 году в Амстердаме состоялась большая выставка Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу. Математики сразу признали художника «своим»; с этого времени его рисунки – неизменный атрибут физико-математических изданий. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

     Однажды известный геометр Кокстер пригласил  Эшера на свою лекцию, посвященную  математическому содержанию его  гравюр и литографий. К взаимному  разочарованию, Эшер не понял почти  ни слова из того, о чем рассказывал Кокстер. Вот что писал об этом сам художник: "Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен".

     Слава мало изменила образ жизни художника, который продолжал упорно работать. Умер он 27 марта 1972 года.

6.2 Творчество

 

     Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение «метаморфоз», фигурирующих в разных формах во множестве  работ. Художник подробно исследует  постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях. Кроме того, Эшер неоднократно рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у него в рыб и проч.) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живых существ.

     Для сюжетов «классических» произведений Эшера («Рисующие руки», «Метаморфозы», «День и ночь», «Рептилии», «Встреча», «Дом с лестницей» ) характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов. В сочетании с виртуозной техникой это производит сильнейшее впечатление. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками.