Закон Дарси

 

Содержание 

Введение                                                                                                                   3

1 Скорость фильтрации. Законы фильтрации                                                       5

2 Границы  применимости закона Дарси                                                               7 

3 Верхняя граница применимости закона Дарси                                               10

4 Двухчленный  закон фильтрации                                                                       16

5 Степенной  закон фильтрации                                                                            19

Задача                                                                                                                      21               

Заключение                                                                                                             23

Список  литературы                                                                                                24                                                                   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение 

    Закон Дарси   

    

  

Рисунок 1 Схема  наклонного пласта 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    В 1856г. французским инженером Дарси  был установлен основной закон фильтрации - закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н₁-Н₂ и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой (рисунок 1). Напор для несжимаемой жидкости имеет вид 

                                                                                              ₍₁₎

    где z- высота положения;

    р/g - пьезометрическая высота; g - объёмный вес;  u - скорость движения жидкости. Так как при фильтрации скорость обычно мала, то под напором понимается величина   

   .                                                                                           ₍₂₎

    Закон Дарси  имеет вид  

     ,            (3) 

    где с - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости.

    Закон Дарси показывает, что между потерей  напора и расходом существует линейная связь.   

    Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F, 

                                                                                                        (4) 

    или в векторной форме 

     ,                                                                                          (5) 

    где s - расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

    Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т.е. зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

                    (6)

    или

     ,              (7) 

    где h - коэффициент динамической вязкости; k - коэффициент проницаемости, характеризующий среду; р=g H - приведённое давление, равное истинному при z=0.

    Из  сравнения (4) и (7) имеем 

     .                                                                                                         (8) 
 

    1 Скорость фильтрации. Законы фильтрации   

    При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

    Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида  

    Q=`w  F_п ,              (9)  

    где `w - действительная средняя скорость жидкости; F_п - площадь пор.

    Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность, а для неупорядочных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности пористости. Следовательно, 

    Q=`w m F ,              (10)  

    Величина 

    u= `w m             (11)

называется  скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то и скорость фильтрации всегда меньше средней.

    Физический  смысл введения скорости фильтрации заключается в том, что при  этом рассматривается некоторый  фиктивный поток, в котором расход через любое сечение равен  реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной. Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью.

    В трещиноватых пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью  через трещиноватость

    u=m_тw.               (12)  

    Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при  представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

                   (13) 

    Если  использовать зависимости (21), (22), то получаем линейный закон фильтрации в трещиноватых средах 

                                                                                        (14) 

    По  аналогии с законом Дарси проницаемость  трещиноватых сред равна 

                (15)  

    Для трещиновато-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма межзерновой и трещинной проницаемостей.

    Отмечалась необходимость рассмотрения трещинно-пористой среды как деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет также изменяться с изменением давления, а именно:  

                    (16)  

    Необходимо  отметить, что данная зависимость  справедлива при небольших изменениях давления. В более общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением. 
 
 

    2 Границы применимости закона Дарси   

    Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

1. a)    пористая среда мелкозерниста и поровые каналы достаточно узки;
2. b)    скорость фильтрации и градиент давления малы;

    с)  изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

    При повышении скорости движения жидкости  закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные  с инерционными силами: образование  вихрей, зон срыва потока с поверхности  частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.  

    Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=war/h с его критическим значением Re_кр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w -характерная скорость течения: а - характерный геометрический размер пористой среды;

 r - плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Приведём некоторые из данных зависимостей наиболее употребляемые в подземной гидромеханике:

    а) Павловского 

                     (17)    

    Критическое число Рейнольдса Re_кр=7,5- 9.  

    б) Щелкачёва 

                   (18)    

    Критическое число Рейнольдса Re_кр=1-12.  

    в) Миллионщикова 

                                  (19)  

    Критическое число Рейнольдса Re_кр=0,022- 0,29.

    Скорость  фильтрации u_кр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>u_кр соизмеримы с силами трения.

    При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси

     ,            (20) 

представляющим  отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения. 

    Нижняя  граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления t_н , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом

     .             (21) 

    Так же, как и в пористых средах в трещиноватых породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Re_кр=500, а для шероховатых - 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.