Задачи по "Финансовой математике"

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Контрольная работа

По дисциплине «Финансовая математика»

Вариант№2

                                                                     Исполнитель:

                                                                     Евтых К.А

                                                                     Факультет : ФиК

                                                                     Курс: 4 (1 поток)

                                                                     № 08ффб01992

                                                                     Преподаватель:

                                                           Дараган Алексей Константинович

Краснодар-2012

Задание №1

Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Таблица 1.

Требуется:

1)                      Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3;α2=0,6; α3=0,3.

2)                      Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3)                      Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

   - случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

   - независимости  уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r1=0,32;

   - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4)        Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5)        Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1.                         Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Yp(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F( t+k-L),

коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)= α1 *Y(t) / F(t-L) + (1- α1 )*[a(t-1)+b(t-1)];

b(t)= α3 * [a(t)-a(t-1)]+(1- α3)*b(t-1);

F(t)= α2 * Y(t)/a(t) + (1- α2)*F(t-L).

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид:

Yp(t)=a(0) + b(0)*t.

Таблица 2

Промежуточные расчеты  для вычисления коэффициентов

a(0) = Yср – b(0)*tср = 37,375 - 0,774*4,5=33,89

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Yp(t)= 33,89+0,774t

Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3)

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

;

;

;

.

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной  модели Хольта-Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Полагая, что t=0, k=1, находим Yp(1):

Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*(b)]*F(0+1-4)=29,69

Полагая что t=1, находим :

a(1)= α1*Y(1)/F(-3)+(1-α1)*[a(0)+b(0)]=34,78

b(1)= α3*[a(1)-a(0)]+(1-α3)*b(0)=0,806

F(1)= α2*Y(1)/a(1)+(1- α2)*F(-3)=0,860

Аналогично рассчитаем для t=1

Yp(2)=38,47

a(2)= 35,45

b(2)= 0,77

F(2)=1,07

Для t=2:

Yp(3)=46,00

a(3)=35,98

b(3)= 0,696

F(3)= 1,258

Для t=3:

Yp(4)=29,06

a(4)=37,04

b(4)= 0,803

F(4)= 0,802

Для t=4:

        Yp(5)=32,55

a(5)= 37,65

b(5)=0,746

       F(5)=0,854

Для t=5:

Yp(6)=41,29

a(6)=38,59

b(6)=0,805

F(6)=1,083

Для t=6:

Yp(7)=49,57

a(7)=39,74

b(7)=0,907

F(7)=1,273

Для t=7:

Yp(8)=32,63

a(8)=40,03

b(8)=0,724

F(8)=0,785

Для t=8:

Yp(9)=34,81

a(9)=41,18

b(9)=0,849

F(9)=0,866

Для t=9:

Yp(10)=45,52

a(10)=42,16

b(10)=0,889

F(10)=1,09

Для t=10

Yp(11)=54,82

a(11)=43,09

b(11)=0,902

F(11)=1,275

Для t=11:

Yp(12)=34,56

a(12)=43,77

b(12)= 0,837

F(12)=0,780

Для t=12:

Yp(13)=38,64

a(13)=45,42

b(13)=1,082

F(13)=0,887

Для t=13:

Yp(14)=50,60

a(14)=46,34

b(14)=1,032

F(14)=1,082

Для t=14:

Yp(15)=60,42

a(15)=47,28

b(15)=1,002

F(15)=1,271

Для t=15:

Yp(16)=37,68

a(16)=48,02

b(16)=0,924

F(16)= 0,774

Таблица 4

2.                         Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение  относительных погрешностей (см.табл.4) составляет 34,89, что дает среднюю величину 34,89/16=2,18%.

Следовательно,  условие точности выполнено.

3.                         Проверка условия адекватности.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. (табл.5)

Таблица 5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=11

Рассчитаем значение q:

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=11, q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков.

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

d1<1.23 <d2, Критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения   r(1)  < r табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче /r(1)/=0,39>rтаб=0,32 – условие независимости не выполняется 

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:

RS=(Emax – Emin)/S,

RS= (2,36-(-1.43))/1,04=3,83

Так как 3,00<3,83<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

4.                         Построение точечного прогноза

Для t=17 имеем:

Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4)= (48.02+0.924)*0.887=43.41

Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):

Yp(18)=Yp(16+2)=(48.02+2*0.924)*1.082=53.96

Yp(19)=( 48.02+3*0.924)*1.271=64.56

Yp(20)=( 48.02+4*0.924)*0.774=40.02

5.          Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных

Задание № 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Результаты расчетов см. в таблице 6 и 7.

1.      Экспоненциальная скользящая средняя.

EMAt=k*Ct+(1-k)*EMAt-1,

где k=2/(n+1)

Ct – цена закрытия t-го дня

2.      Момент

MOMt=Ct – Ct-n

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении

3.      Скорость изменения цен

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения.

4.      Индекс относительной силы

,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

      AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

5.      Стохастические линии

%Kt=100*(Ct – L5)/(H5 – L5);

%Rt=100*(H5 – Ct)/(H5 – L5);

;

где Ct – цена закрытия текущего дня.

L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Таблица 6.

Расчет ROC,MOM и RSI

Алгоритм расчета:

1.      выберем интервал сглаживания n(в нашем случае n=5)

2.      вычислим коэффициент К(К=2/(n+1)=2/6=1/3

3.      вычислим MA для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней(графа 2). Сумму разделим на 5 и запишем в графы 3 и 4 за 5-й день.

4.      перейдем на одну строку вниз по графе 4. Умножим на К  данные по конечной цене, которую берем из графы 1 текущей строки.(Для 6-го дня это будет 676*1/3=225.33).

5.      данные по ЕМА за предыдущий день берем из предыдущей строки графы 4 и умножаем на (1 - К).(Для 6-го дня это будет 704.4*2/3=469.60)

6.      сложим результаты, полученные на предыдущих двух шагах (для 6-го дня это будет 225.33+469.60=694.93.Полученное значение записываем в графу 4 текущей строки.

7.      повторяем шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.

RSI рассчитывается следующим образом:

1.      начиная со 2-го дня до конца таблицы вычитают из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записывают в графу 7. Иначе абсолютное значение разности записывают в графу 8.

2.      с 6-го дня и до конца таблицы заполняют графы 9 и 10. для этого складывают значения из графы 7 за последние n дней(включая текущий) и полученную сумму записывают в графу 9(величина AU). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы 8 и записывают в графу 10. (величина AD).

3.      зная AU и AD, рассчитывают значение RSI и записывают в графу 11.