Контрольная работа по "Финансовая математика"

Вариант 4

1. Вы имеете возможность инвестировать одинаковую сумму денег в один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегодными выплатами в размере 20 тыс. руб. Второй проект принесет 40 тыс. руб. и 100 тыс. руб. в течение одного года и второго года соответственно. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка составляет 25% годовых? Можно ли так изменить процентную ставку, что ответ изменится на противоположный?

Решение:

Для сравнения проектов определим приведенные стоимости потоков доходов, доставляемых проектами, по формуле:

r = 0,25,  при p = m = 1  получим:

= 20/0,25 = 80 тыс. руб.

Для оценки второго проекта воспользуемся формулой

при  n =2, C1 = 40, C2 = 100,  и r=25%..

= 40*0,8+100*0,64 = 96 тыс. руб.

Следовательно, второй проект предпочтительнее.

Теперь выясним, существуем ли такая годовая процентная ставка  r, при котором первый проект предпочтительнее. Для этого надо решить неравенство:

Совершая равносильные преобразования неравенства, получим r2+5r – 1<0, отсюда получим

-5,1926 < r <0, 1926.

Таким образом, процентная ставка должна быть меньше 19,26 % годовых, тогда первый проект станет предпочтительнее.

Ответ:

1.      Второй проект предпочтительнее.

2.      Процентная ставка меньше 19,26 % сделает предпочтительным первый проект.

2. Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по 20 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Эти взносы компания помещает в банк под 12% годовых. Найти современную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если проценты начисляются ежемесячно.

Решение:

По формуле

Получим

Ответ: Современная стоимость суммы 165,125 тыс. руб.

3. На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%.

Решение:

Так как темп инфляции за каждый квартал равен  8 %, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года или 5 кварталов) составит:

Обозначим через  r искомую процентную ставку и приравняем индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

Отсюда:

r= 1,46931/1,25 -1 = 0,3605

Таким образом, в этом случае ставка должна превышать 36,05 %.

Пусть применяется смешанная схема.

Приравняем индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r:

(1+r)(1+0,25r) =1,4693

Решая уравнение, определим корни  r1 = -5,3508, r2 = 0,3508. Первый корень не подходит, следовательно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08 % годовых.

Ответ:

А) ставка должна превышать 36,05 %.

Б) ставка должна превышать 35,08 %.