Основы конструирования и проектирования

      Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.

 

      

        

       I участок ( ): 

      

                                                                     Рис.17. Участок I

      Отсюда

      На  границах участка:

при м

при    

      II участок ( ):

      

      

      Рис. 18. Участок II

      Отсюда 

      

      На  границах участка:

при  

при  

      

      III участок ( ): 

        

                                                                                                     Рис. 19. Участок III 

      Отсюда 

      

      На  границах участка:

при м 

при  

      По  полученным значениям строим эпюры  поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 16).

3. Определение положения опасного сечения.

      Опасное сечение расположено в том  месте, где модуль изгибающего момента имеет максимальное значение. В рассмотренном примере оно расположено на границе второго и третьего участков, где

4. Определение расчетного осевого момента сопротивления сечения.

Из  условия прочности по нормальным напряжениям

находим расчетный осевой момент сопротивления сечения балки с учетом того, что [σ] = 140 МПа:

5. Определение размеров наиболее распространенных сечений балок.

 

      5.1. Кольцо с соотношением α = d/D = 0,75: 

 

5.2. Квадрат:

        

      5.3. Швеллер: по таблице сортамента прокатной стали (ГОСТ 8240) подбираем швеллер с моментом сопротивления большим или равным  расчетному. В данном случае такого швеллера нет, поэтому в расчет его не включаем. 

6. Сравнение масс полученных балок.

      Для выбора наиболее экономичного варианта изготовления сравним массы балок  различного поперечного сечения. При  прочих равных условиях массы балок относятся так же, как и площади их поперечных сечений: 

 

      Таким образом, наиболее выгодной является балка кольцевого сечения, масса которой, а следовательно, и стоимость, в 1,58 раза меньше, чем у балки квадратного сечения.

 

ЗАДАНИЕ 4. 

РАСЧЕТ  КОЛОННЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

        Дано: схема нагружения колонны высотой 13 метров (рис.20), изготовленной из стали Ст. 3 и имеющей составное сечение из двух двутавров №14 (рис. 21). Определить допускаемую нагрузку при заданном коэффициенте запаса устойчивости = 2,5.

      Продольным  изгибом называется изгиб первоначально  прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных сжимающих сил.

      Нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости, называются критическими. Если нагрузки не превышают этого значения, то стержень остается прямолинейным, испытывая только деформации сжатия. Искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба, которые могут угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние считается недопустимым.

      Опасность потери устойчивости особенно актуальна в настоящее время в связи с широким использованием тонкостенных элементов конструкций типа стержней, балок, пластин и оболочек, изготовленных из высокопрочных материалов.

      Расчет  на устойчивость необходим, например, при проектировании ферм различного назначения, всевозможных вышек, башен и мачт, несущих конструкций зданий и сооружений.

                                                                

Рис. 20. Расчетная схемы нагружения колонны          Рис. 21. Форма составного сечения 

      1. Основные геометрические характеристики составных частей сечения.

     Геометрические  характеристики составных частей сечения  определяются по таблице сортамента прокатной стали ГОСТ 8239 (двутавры):

         h = 14  см;

             b₁ = 8,2 см;

     I_x1 = 632 см⁴;

     I_y1 = 58,2 см⁴;

                 F₁ = 18,9 см². 

     2. Определение положения центра тяжести составного сечения.

     Определим положение центра тяжести всего  сечения относительно произвольной системы координат xОy (рис. 22).

     Так как сечение имеет ось симметрии, то его центр тяжести расположен на этой оси, т. е. y_C = 0. Координату  x_C определим по формуле

,

где и – площадь и координата центра тяжести каждой составной части сечения.

 см.

     Через полученную точку проведем главные  центральные оси инерции сечения X и Y.  

Рис. 22. Расчетная схема сечения

      3. Определение минимального осевого момента инерции сечения.

     Для нахождения моментов инерции составного сечения воспользуемся теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей, согласно которой

где – моменты инерции составных частей сечения относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям инерции всего сечения;

       – расстояния между соответствующими осями отдельных составных частей и осями всего сечения в целом.

     В рассматриваемом примере:

       см;

           см;

           см.

      Тогда 

      

см⁴;

      

 см⁴.

     Из  двух осевых моментов инерции выбираем минимальный, так как именно вокруг этой оси будет поворачиваться сечение  при продольном изгибе:

      I_min = I_Y = 665,6 см⁴.

      4. Определение минимального радиуса инерции сечения. 

      i_min

см. 

      5. Определение гибкости колонны.

      Гибкость  колонны (λ) определяется только ее конструкцией и зависит от высоты (l), формы и размеров поперечного сечения (i_min), а также от условий закрепления и отношения продольных размеров колонны (μ):

      

где μ  – коэффициент приведения длины. Для схемы колонны, приведенной на рис. 20, μ = 1,35. Тогда: 

б)

 

      6. Определение критических напряжений.

      Так как гибкость колонны больше критической ( ), поэтому критическое напряжение вычисляем по формуле Эйлера, приняв модуль продольной упругости материала :

=11,3 МПа. 

     7. Определение критической силы.

     Критическая сила определяется, исходя из деформации сжатия:

Р_кр = σ_крF,

где F – площадь поперечного сечения колонны.

Р_кр = Н = 42,72 кН. 

     8. Определение допускаемой нагрузки.

     Любая конструкция не должна работать при нагрузках, близких к критическим. Поэтому допускаемая ее величина должна быть меньше критической в несколько раз, что определяется коэффициентом запаса устойчивости  :

     

 Р_кр/ =42,72 /2,5 = 21,36 кН;

     При проектировании следует иметь в виду, что наиболее экономичными с точки зрения расхода материала являются колонны, стержни и мачты с кольцевым или коробчатым поперечным сечением.