Определение геометрических характеристик поперечных сечений тонкостенных стержней при расчете на стесненное кручение

Министерство  образования и науки РФ 

Государственное образовательное учреждение

 высшего  профессионального образования

«Тульский государственный университет» 

Политехнический институт

      Кафедра "Подъемно-транспортные машины и  оборудование" 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНО-КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ   

«РАСЧЕТЫ  НА ПРОЧНОСТЬ В МАШИНОСТРОЕНИИ» 

Тема: Определение  геометрических характеристик поперечных сечений тонкостенных стержней при расчете на стесненное кручение 

(Вариант  ___) 
 
 
 
 

Выполнил  студент гр. ____________     ____________ 
 
 
 

Принял           Шестаков В. А. 
 
 
 
 
 
 

2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение _________________________________________________________3   

1. Определение геометрических характеристик тонкостенного  стержня двутаврового  сечения ________________________________________6 
1. Исходные данные для расчета _______________________________6
2. Определение координат центра тяжести сечения _______________6
3. Построение эпюр Х и У сечения _____________________________7
4. Построение вспомогательной эпюры ω_В ______________________8
5. Вычисление значения Sω_Вх  ________________________________8
6. Определение координаты центра изгиба – точки «А» ___________8
7. Построение главной эпюры секториальных координат ω_А _______9
8. Вычисление секториального момента инерции сечения J_ω _______9
9. Вычисление секториального момента сопротивления

сечения W_ω1 ________________________________________________      10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

      Тонкостенным стержнем называется цилиндрической или призматической формы брус, все три измерения которого производятся величинами разных порядков, а именно: длина значительно преобладает над размерами контура (средней линии) поперечного сечения, а размеры контура преобладают над толщиной сечения (l > а ≈ h > δ) (рисунки 1.1 и 1.2).

Рисунок 1.1.                                                    Рисунок 1.2.

 

      Тонкостенные  стержни могут иметь в поперечном сечении либо замкнутое, либо открытое (незамкнутое) очертание.

      Работа  замкнутого тонкостенного стержня  сравнительно мало отличается от работы сплошного стержня и при отсутствии деформаций контура сечения и деформаций сдвига сечения нормальные напряжения по сечению замкнутого профиля распределяются по плоскостному закону независимо от точки приложения нагрузки в плоскости поперечного сечения.

      Для тонкостенных же стержней открытого профиля закон плоских сечений (гипотеза Бернулли) имеет ограниченную область применения. Он соблюдается только при определенном способе приложения внешней нагрузки в плоскости поперечного сечения.

      При специальной конструкции тележки возможно создание однопутного однобалочного коробчатого моста (рисунок 1.3, е—м), который имеет ряд преимуществ по сравнению с двухбалочным мостом:

      1. Лучшее использование материала,  так как вместо четырех имеются только две вертикальные стенки, т. е. больше материала находится в поясах. Это может давать экономию на весе балок от 15 до 40%. Наибольшая экономия получается у кранов малой грузоподъемности и большого пролета, когда у двухбалочных мостов материал стенок балок используется плохо. Количество нерасчетных элементов сведено к минимуму. Возможные варианты поперечных сечений мостов мостовых кранов показаны на рисунке 1.3.

      Экономия  в весе у однобалочного моста  по сравнению с двухбалочным, главным  образом для мостов больших пролетов, может достигать 40—70%.

Рисунок 1.3 - Схемы специальных крановых однопутных мостов

а—высокоподнятых  б,в,г,д—с передвижением тележки  внутри моста е—м—однобалочный, элемент 1 образует коробчатое сечение по всей длине балки, 2 —стальной канат.

      Так как консольная или угловая тележка тяжелее обычной, то общий вес однобалочного крана меньше двухбалочного, во всяком случае начиная с пролета в 20 м При расположении крюка не по оси балки (рисунок 1.3, з - м) возникает большой крутящий балку момент. Расчет таких конструкций выполняется по теории расчета тонкостенных конструкций открытого и закрытого профилей.

     2. Меньшая стоимость изготовления, так как почти втрое меньше  количество элементов, из которых образуется конструкция, и количество сварных швов. Коробление однобалочного моста не сказывается на размерах колеи тележки, а точность укладки рельсов на одной балке достигается легче, чем на двух. Как показало специальное экономическое исследование  однобалочный кран дешевле двухбалочного при всех грузоподъемностях и пролетах.

     Эксплуатационные  п р е и м у щ е с  т в а, заключающиеся в том, что у однобалочного крана может быть сделано весьма малым расстояние от крюка до подкранового пути при крайнем положении тележки. Особенно удобен однобалочный кран с внецентренным расположением крюка при спаренной работе двух кранов на общей траверзе, так как она может быть поднята между кранами, что невозможно при двухбалочных мостах. Это может снизить высоту подкрановых путей и соответственно высоту здания. Однобалочный мост имеет примерно вдвое меньшую площадь окраски и меньшую наветренную площадь. В конструкциях с внецентренным расположением крюка (рисунок 1.3, з, к, л, м) при изменении высоты моста для разных пролетов крана требуется внесение изменений в конструкцию тележки. Этого недостатка лишена конструкция по рисунку 1.3, и, так как в зависимости от пролета моста при разной его ширине будет изменяться лишь размер кронштейна тележки. Однако конструкции по рисунку 1.3, з, и требуют устройства специальных площадок вдоль всего крана для обслуживания тележки и в этом их серьезный недостаток. Благодаря внецетренному расположению груза при пуске и торможении тележки возникают моменты, которые в конструкциях по рисунку 1.3, з, л, м воспринимаются горизонтальными колесами, а в конструкциях по рисунку 1.3, и, к для воспринятия этих моментов нужны направляющие вдоль верхнего рельса горизонтальные ролики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Определение геометрических характеристик тонкостенного  стержня двутаврового  сечения

 

1. Исходные данные для расчета

 
 

Варианты  тестов		Размеры (в мм) по рисунку сечения
	Н	Ввп	Внп	δст	δнп	δвп
12	450	100	100	10	14	12

 

Для данного сечения и для  данного варианта      исходных данных:

1. Определить координаты центра тяжести.
2. Построить эпюру координаты Х.
3. Построить эпюру координаты У.
4. Построить эпюру координаты ω_В, при полюсе во вспомогательной точке В.
5. Вычислить значения Sω_Ву и Sω_Вх
6. Определить координаты центра изгиба – точки А.
7. Построить эпюру секториальных координат ω_А.
8. Вычислить секториальный момент инерции J_ω.
9. Вычислить секториальный момент сопротивления W_ω1.
10. Вычислить секториальный момент сопротивления W_ω2

 

2. Определение координат центра тяжести сечения

 

     Заданное  сечение имеет вертикальную ось симметрии, на которой находится центр тяжести. Поэтому в данной задаче необходимо найти только одну координату центра тяжести – координату У_цт. Эта координата определяется относительно вспомогательной оси Х₁, проходящей через середину  толщины    верхней полки сечения (рисунок 1.6) по формуле

 
 

где F – площадь поперечного сечения стержня;   F_i -  площади отдельных прямоугольных элементов,   из которых состоит сечение;

с_i – расстояние от оси У₁ до центра тяжести площади F_i.

 
 
 
 

Определим площадь  поперечного сечения по формуле

Подставив данные в формулу (2.1), получим: 

 
 

1.3. Построение эпюр Х и У сечения 

     Дальнейшие  вычисления и построения связаны  с контуром (профилем) поперечного  сечения, который состоит из линий, проходящих через середины толщин всех элементов поперечного сечения. На рисунке 2.2 показан профиль заданного сечения.

 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 2.2 – Профиль поперечного  Рисунок 2.3 – Эпюра Х

сечения 

 
 

              
 
 

Рисунок 2.4 – Эпюра У 

     После того как определены координаты центра тяжести сечения, сечение следует  привязать к главной центральной системе координат (рисунки 2.3 и 2.4). Затем на этих же рисунках строятся эпюры Х и У, построение которых не требует пояснений. Эти эпюры показывают графически координаты соответственно Х и У для каждой точки контура поперечного сечения. 
 
 

1.4. Построение вспомогательной эпюры ω_В 

     Для определения  координат центра изгиба необходимо построить вспомогательную эпюру ω_В, при полюсе в произвольной точке В. На рисунке 2.5 построена эпюра ω_В, при полюсе и начальной точке отсчета секториальных координат в точке В, находящейся в середине верхней полки. 
 

 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 2.5 – Эпюра ω_В 

1.5 – Вычисление значения Sω_Вх 

     Координаты  центра изгиба определяются по формулам (1.2)

     Координату  a_х в данном примере можно не вычислять, так как точка А лежит всегда на оси симметрии. То есть a_х=0. Остается вычислить координату a_у, обозначив интеграл в формуле для определения a_у, через S_ωВх.

 
 
 

В результате перемножения по методу Верещагина эпюр х и ω_В получим формулу для вычисления S_ωВх.

 
 

Подставив данные в формулу (2.2), получим