Активный RC−фильтр на базе операционных усилителей

Существуют также переходные фильтры, которые дают компромиссные характеристики, сочетающие свойства двух типов фильтров. Одним из наиболее употребляемых является фильтр Баттерворта-Томсона, в котором сделана попытка скомбинировать максимально плоскую АЧХ фильтра Баттерворта с максимально плоской характеристикой группового времени замедления фильтра Бесселя или Томсона. Тип фильтра выбирается в зависимости от назначения применения.

А теперь рассмотрим несколько аналогичных  схем фильтров на операционных усилителях.

Так, для устранения низкочастотного  шума, вызываемого, например, работой  электродвигателя, на входе усилителя  включают низкочастотный фильтр с частотой среза 70-80 Гц. Принципиальная схема  одного из таких фильтров показана на рисунке 4, [6].

Частота среза его на уровне -3 дБ составляет около 70 Гц, крутизна АЧХ  за частотой среза – около 12 дБ на октаву.

Для оптимального режима работы фильтра  сопротивление резисторов R2 и R3должно быть в два раза больше сопротивления резистора R1. Частотная характеристика фильтра определяется элементами R1, С1 и С2. Коэффициент нелинейных искажений данного усилителя на частоте 1 кГц при выходном напряжении 10 В не превышает 0,1 %.

 

 

Рисунок 4 – Схема низкочастотного фильтра

 

Для устранения высокочастотного шума, возникающего, например, при проигрывании старой грампластинки, можно воспользоваться  фильтром, схема которого изображена на рисунке 5, [6].

Частота среза такого фильтра при  использовании элементов, указанных  на схеме, около 6,5 кГц, крутизна АЧХ  за частотой среза примерно 12 дБ на октаву. Для достижения оптимального режима работы фильтра сопротивление  резистора R3 и ёмкость конденсатора С1 должны в два раза превышать соответственно сопротивление резистора R1 и ёмкость конденсатора С2. Так же как и в предыдущем фильтре, коэффициент нелинейных искажений на частоте 1 кГц при выходном напряжении 10 В не превышает 0,1 %.

 

 

Рисунок 5 – Схема фильтра для устранения высокочастотного шума

 

Рассмотрим полосно-заграждающий (режекторный) фильтр, [5]. Он подчас необходим для вырезания узкополосной помехи, например сетевой частоты или её гармоник. Используя, например, четырёхполюсные ФНЧ и ФВЧ Баттерворта с граничными частотами 25 Гц и 100Гц (рис. 6) и отдельный сумматор на ОУ, получим фильтр на частоту 50Гц с добротностью Q=5 и глубиной режекции -24 дБ. Достоинства такого фильтра является то, что его характеристика в полосе пропускания – ниже 25Гц и выше 100 Гц – оказывается идеально плоской.

 

25

f, Гц

0

0

 

 

-24

А, дБ

50

100

Рисунок 6 – График АЧХ полосно-заграждающего фильтра

 

 

Как и полосовой фильтр, режекторный фильтр можно собрать на одном ОУ. К сожалению, характеристики таких фильтров не отличаются стабильностью. Поэтому рекомендуем применять гираторный фильтр на двух ОУ (рис.7).

 

Рисунок 7 – Схема режекторного гираторного фильтра

 

Резонансная схема на усилителе  DA2 несклонна к генерации. При выборе сопротивления следует выдержать соотношение R1/R2= R3/R4. Установив ёмкость конденсатора С2, изменением ёмкости конденсатора С1 можно настроить фильтр на требуемую частоту f₀²(Гц)=400/С(мкФ). В небольших пределах добротность можно регулировать подстройкой резистора R5. Используя эту схему, можно получить глубину режекции до 40 дБ, однако амплитуду входного сигнала следует уменьшать, чтобы сохранить линейность гиратора на элементе DA2.

 

2 ВЫБОР СХЕМЫ  ФИЛЬТРА

Согласно техническому заданию  начинаем первый этап расчёта активного  фильтра (ФВЧ Баттерворта).

Определение количества звеньев и  коэффициентов их передаточных функций

Нормируем коэффициент передачи и  частоту, [1]:

 

К_{н макс}=К_макс-К_мин=26-23=3 дБ,

К_{н мин}=К_макс-К_з=26-5=21 дБ,

f_{п н}=f_п/f_п=1,

f_{з н}=f_п/f_з=10/4=2,5.

 

Определяем порядок фильтра, [1]:

 

 

n=2.637≈3;

Данный фильтр – фильтр 3-го порядка.

Определение передаточной функции  фильтра W(p), [1]:

 

W(p)=N(p)/D(p), N(p)=1

 

для фильтра Баттерворта, а D(p) берём из таблицы. Для фильтра 3-го порядка D(p)=(р+1)∙(р²+р+1). Следовательно, W(p)=1/((p+1)∙(p²+p+1)).

Сделаем обратный переход от нормированного ФВЧ к ФВЧ, который проектируется, [1].

Масштабирование по коэффициенту передачи: N¹(p)=N(p)∙e^{0.05∙ln(10)∙К}_макс , N¹(p)=1∙e^{0.05∙lg(10)∙26}=19.953

Масштабирование по частоте: делаем замену р→w_п/р,

w_п=2∙π∙f_п=6,28∙10⁴ рад/с =62,8 крад/с,

w_п²=3943,84 (крад/с)².

 

D¹(p)=(w_п/р+1)∙((w_п/р)²+(w_п/р)+1),

;

 

Сделаем переход от передаточной функции  к схеме, [1]

Для этого представим W(p) в виде произведения линейного и квадратного множителей. Так как проектируется фильтр 3-го порядка, то n=1+2. Общий коэффициент передачи равен произведению коэффициентов передачи отдельных фильтров: К=К₁∙К₂, а передаточная функция W(p)=W₁(p)∙W₂(p).

Распределим общее усиление между  фильтрами: К₁=19,953, К₂=1. Всё усиление наложим на первый каскад (для удобства), так легче настраивать фильтр, потому что дополнительное условие – независимость от диапазона номиналов элементов. В соответствии с проведенным расчётом составим структурную схему фильтра, которая изображена на рисунке 8:

2-е звено

1-е звено

ФВЧ – 2

К₂=1

ФВЧ – 1

К₁=19,953

 

U_вх

U_вых

 

Рисунок 8 – Схема структурная проектируемого фильтра

 

Выбор схемы

Так как  нужно спроектировать фильтр 3-го порядка, то в качестве первого звена возьмём  ФВЧ 1-го порядка неинвертирующий, который приведён на рисунке 9, [1]. А в качестве второго – ФВЧ с многопетлевой обратной связью. Последний имеет малые и средние значения добротности (<20), инвертирующий, относительно невысокая чувствительность к разбросу значений элементов, большой диапазон значений элементов, но тяжёлая настройка, коэффициент передачи равен отношению ёмкостей двух конденсаторов, что менее стабильно, чем по отношению двух резисторов. Схема этого ФВЧ приведена на рисунке 10, [1].

 

Рисунок 9 – Схема ФВЧ 1-го порядка

 

Рисунок 10 – Схема ФВЧ 2-го порядка с многопетлевой обратной связью

 

3 РАСЧЁТ ЭЛЕМЕНТОВ  СХЕМЫ

Рассчитаем элементы первого звена  фильтра (ФВЧ 1-го порядка):

- выбираем значение ёмкости  С из номинального ряда по  формуле С(нФ)=(2...20)/f_п(кГц)=2/10=0,5 (нФ). Выбираем ёмкость из 5%-го номинального ряда, ближайшую к рассчитанной, С=0,51 (нФ)

- сопротивление R2=1/2πf_пС,

R2=1/2π∙10⁴∙0,51∙10^-9=31,226 (кОм).

Разобьём R2 на два сопротивления R2₁ =31 кОм и R2₂=1,2 кОм согласно номинальному ряду;

- выбираем номинал R1 из диапазона 1...50 кОм (чаще 20 кОм), пусть R1=20кОм;

- определяем сопротивление R3 из соотношения К₁=1+R3/R1, где К₁ – коэффициент усиления первого звена;

19,953=1+R3/20,

R3=379,06 кОм,

R3=R3₁+R3₂;

R3₁=20 кОм, R3₂=360 кОм.

Элементы второго звена фильтра (ФВЧ 2-го порядка с многопетлевой обратной связью) равны:

- выбираем ёмкости С1=С3=С=0,51 нФ;

- определяем ёмкость С2=С/К₂, где К₂=1, С2=0,51 нФ;

- R6=Q_F(2K₂+1)/w_пС=3/62,8∙10³∙0,51∙10^-9=93,668 кОм.

Из номинального ряда выбираем соответствующие  сопротивления:

R6=R6₁+R6₂,

R6₁=91 кОм,

R6₂=2,7 кОм;

- R5=K₂/w_п²∙С²∙R5=1/3943,84∙10⁶∙0,2601∙10^-18∙93,7∙10³=10,404 кОм;

R5=R5₁+R5₂,

R5₁=10 кОм,

R5₂=390 Ом.

 

Таблица 1 – Номиналы элементов первого каскада фильтра

С, нФ	R1, кОм	R2, кОм	R3, кОм
0,5	20	31.226	379,06

 

Таблица 2 – Номиналы элементов второго  каскада фильтра

С1, нФ	С2, нФ	С3, нФ	R4, кОм	R5, кОм
0,5	0,5	0,5	10,404	93,668

 

Таблица 3 – Номиналы элементов первого каскада фильтра (согласно номинальному ряду)

С, нФ	R1, кОм	R21, кОм	R22, кОм	R31, кОм	R32, кОм
0,51	20	31	1,2	20	360

 

Таблица 4 – Номиналы элементов второго  каскада фильтра (согласно номинальному ряду)

С1, нФ	С2, нФ	С3, нФ	R51, кОм	R52, Ом	R61, кОм	R62, кОм
0,51	0,51	0,51	10	390	91	2,7

 

Элементы схемы выбираем таким  образом, чтобы они удовлетворяли  параметрам данных элементов схемы. Тип постоянных резисторов возьмём  С2 – 33П ОЖО. 467.173 ТУ, а тип переменных резисторов – СП3 – 19а ОЖО. 468.372 ТУ. Тип конденсаторов выбираем К10 – 17 ОЖО. 460.172 ТУ. Микросхема подходит LM301A по всем параметрам (точность, стабильность, входное и выходное сопротивления, ток, мощность, рабочая полоса частот и т.д.).

 

4 МЕТОДИКА НАСТРОЙКИ  И РЕГУЛИРОВКА РАЗРАБОТАННОГО  ФИЛЬТРА аппроксимированная

Поскольку разрабатываемые активные фильтры всё в большей степени  используются в современных системах связи, вопрос о том, как наиболее эффективно и с минимальными затратами  настроить их рабочие характеристики, становится как никогда актуальным. На практике можно выделить два основных несхожих метода настройки, а именно функциональную и детерминистическую настройки. Функциональная настройка  подразумевает настройку нормируемых  параметров цепи при её функционировании, т.е. в рабочем режиме. Поскольку  сама цепь собирается так, как если бы она окончательно работала в системе, то любые присущие этой цепи паразитные параметры автоматически принимаются  во внимание и “выгоняются” в процессе настройки. В большинстве случаев  функциональная настройка более  предпочтительна в лабораторных условиях и при средне- и малосерийном производстве. Детерминистическая настройка предполагает настройку или подгонку номиналов отдельных элементов цепи. Настройка выполняется “по номиналу”, следовательно, нет разницы в том, является ли цепь действующей или нет. Поскольку в качестве подстраиваемых элементов обычно выступают резисторы, этот метод заключается в “подгонке резисторов” в противоположность настройке параметров цепи (амплитуды, фазы, частоты). Этот метод очень прост.

На практике очень часто оказывается  полезным сочетать функциональную настройку  с детерминистической. При этом способе вычислительные сложности, присущие чисто детерминистической настройке, можно значительно снизить.

Проектируемый активный RC-фильтр состоит из двух каскадов, у которых коэффициент усиления К₁=19,953 и К₂=1. Требуется настроить три параметра: коэффициент усиления К, частоту среза f_п и добротность Q_F.

Первым звеном будем регулировать коэффициент усиления с помощью  сопротивления, включенного в обратную связь. Математически эта зависимость  описывается таким выражением: К=1+R3/R1, [4].

Вторым звеном регулируется частота  среза и добротность. Настройка  этого фильтра оказывается сложной  задачей, поскольку в схеме имеются  только два резистора, а Q_F и w_п одновременно зависят от сопротивлений обоих резисторов. Подстройка этих параметров проводится методом последовательных приближений. Параметры схемы мало чувствительны к неточностям значений R и С, но это достоинство достигается за счёт широкого диапазона номиналов элементов даже при достаточно умеренных значениях коэффициента передачи и добротности. При увеличении Q_F и К диапазон номиналов элементов ещё более расширяется. По этой причине, с учётом реальных величин сопротивлений и ёмкостей, произведение К∙Q_F ограничивается величиной порядка 100. В схемах с большим значением Q_F конечная полоса пропускания ОУ вызывает значительные погрешности на высоких частотах, где коэффициент усиления ОУ падает. Ещё один недостаток схемы состоит в том, что коэффициент передачи фильтра определяется отношением ёмкостей двух конденсаторов, которые, как правило, менее стабильны, чем резисторы. Кроме того, габариты конденсаторов больше и они дороже резисторов, поэтому, по возможности, число их следует сводить к минимуму. Математическое описание зависимости параметров фильтра от элементов имеет вид: