Основные положения теплопроводности

              Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

,                                                        (2.25)

где              qV — удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

              Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

,                                          (2.26)

где              r  — радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

              — полярный угол.

              2.5 Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:

   геометрическая форма и размеры тела,

   физические параметры среды и тела,

   граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

              Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.

              Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

              Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

              Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.

              Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию .

2.6 Теплопроводность через шаровую стенку

С учётом описанной в разделах 2.1 - 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R1. Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность  является функцией одной переменной - расстояния от центра сфер (радиуса) r. По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной - радиуса r: T = T(r), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле - стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной - радиуса r. Неизвестные функции j(r) и T(r) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:

.                                                                                    (2.27)

В этом уравнении учтено, что вектор нормали к изотермической поверхности n параллелен радиус-вектору r. Поэтому производная может быть записана как .

Определим зависимость плотности теплового потока j от r. Для этого сначала вычислим тепловой поток q через сферу произвольного радиуса         r > R.

.                                                                                    (2.28)

В частности, тепловой поток q1 через внутреннюю сферу радиусом R1 и тепловой поток q2 через наружную сферу радиусом R2 равны

                                                                      (2.29)

Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P. Поэтому все они равны P и поэтому равны между собой.

.                                                                                                  (2.30)

С учётом (2.28) и (2.29) это равенство можно записать в виде:

.                                                                      (2.31)

Учитывая, что

,                                                                     

получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r:

,                                                                                                  (2.32)

где C1 - это константа, определяемая формулой

.                                                        (2.33)

Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией.

Теперь, так как функция j(r) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T(r). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию , получим следующее дифференциальное уравнение:

.                                                                                    (2.34)

Данное уравнение решается методом разделения переменных:

.                                                                                                 

Интегрирование этого выражения даёт:

Итак, функция T(r) имеет вид:

.                                                                      (2.35)

Константы C1 и C2 можно определить из граничных условий T(R1) = T1,
T(R2) = T2. Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C1 и C2:

.                                                                      (2.36)

Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C1:

,                                                                     

откуда

.                                                                      (2.37)

С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде:

.                                                                      (2.38)

Теперь первое граничное условие T(R1) = T1 даёт:

,                                                                      (2.39)

откуда следует выражение для константы C2:

.                                                                      (2.40)

Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T(r):

.                                                                      (2.41)

Зная функцию T(r), можно из закона Фурье

определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r:

.                                                                       (2.42)

Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b, но зато плотность потока пропорциональна b.

3 Заключение

В результате проделанной работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T(r). Разработана программа TSO, рассчитывающая функцию T(r) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи . Листинг программы приведен в Приложении А.

Список используемых источников

Нащокин В.В.  Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., испр. и доп. — М: Высш. школа, 1980. — 469 с.

Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики:  М.: Наука, 1969. — 288 стр.

Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учеб. пособие для студентов втузов. — М.: Наука, 1982. — 432с.

Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973. — 352с.